********************************************************** *** N I K ' S N E W S *** Nik's News, c'est RAPIDE *** *** N U M E R O 0 3 8 *** 1 news -> 1 ligne *** *** 1 5 / 0 3 / 1 9 9 9 *** 1 test -> 5 lignes *** ********************************************************** *** Commentaires, suggestions, corrections, questions, *** *** news, logiciels, abonnements => nik@niksnews.com *** *** Site Web : www.niksnews.com *** ********************************************************** *** No 038 : L'ANALYSE PAR ONDELETTES *** ********************************************************** NEWS : - En pleine pause de son proces, Microsoft se scinde en quatre unites : medias interactifs, developpeurs, entreprises et applications - Hewlett-Packard se scinde en deux : informatique et imagerie d'un cote (qui conserve le nom), et instruments de mesures de l'autre - Alliance entre IBM et Dell pour un montant de 16 milliards de dollars - La version 6.0 de la distribution de Linux SuSE est arrivee avec notamment StarOffice 5.0, KDE 1.0, glibc2 et XFree86 3.3.3 - Des machines prevues pour faire tourner BeOS : www.bemachines.com - Dell lance un supermarche de l'informatique en ligne : www.gigabuys.com - Un moteur de recherche pour le commerce electronique : www.hotwin.com - La version finale de l'environnement graphique GNOME 1.0 pour Linux arrive enfin (www.gnome.org) ; plus efficace que KDE ? peut-etre pas - Adobe Acrobat 4.0 est arrive, PDF 1.3 et PostScript 3 sont au programme - Partition Magic 4 est aussi disponible pour retailler votre disque dur - Le fameux The GIMP a ete porte sous Windows : www.iki.fi/tml/gimp/win32/ Suit un article un tout petit peu long pour le format des Nik's News, mais qui saura sans aucun doute aiguiser la curiosite d'un grand nombre. L'ANALYSE PAR ONDELETTES - DES MATHEMATIQUES PURES AUX SCIENCES DE L'INGENIEUR C'est entre 1804 et 1807 que Jean-Baptiste Fourier, alors prŽfet de l'Isre, donne naissance ˆ ce que nous appelons aujourd'hui l'analyse de Fourier. Son idŽe, ˆ l'Žpoque trŽs controversŽe (notamment par Lagrange et Laplace), consistait ˆ exprimer certaines fonctions pŽriodiques sous la forme de sŽries trigonomŽtriques infinies. Deux sicles plus tard, cette notion a considŽrablement muri et a trouvŽ des applications dans des domaines trŽs variŽs allant de la thŽorie des Žquations aux dŽrivŽes partielles jusqu'au traitement numŽrique du signal. En tant que signaliste, j'adopterai ici une vision orientŽe vers le traitement du signal. Le principal dŽfaut de l'analyse de Fourier est qu'elle permet d'analyser une fonction UNIQUEMENT dans le domaine frŽquentiel (c'est-ˆ-dire d'en extraire des propriŽtŽs globales, comme par exemple, sa rŽgularitŽ holde- rienne). Dans un certain nombres de domaines, il convient d'analyser des signaux non pas seulement en frŽquence mais Ë LA FOIS en temps et en frŽ- quence (de manire trŽs gros- sire, il est possible de comparer ces reprŽ- sentations au solfŽge qui reprŽsente le signal de musique par des notes, frŽquences, associŽes ˆ leurs emplacements et leurs durŽes, temps). Les reprŽsentations temps-frŽquences se heurtent ˆ la relation d'incertitu- de de Weyl-Heisenberg (ce principe Žmerge aussi de la dualitŽ onde- particule introduite en mŽcanique quantique) qui indique qu'une fonction ne peut tre simultanŽment arbitrairement localisŽe dans les domaines frŽquen- tiel et temporel. Parmis les reprŽsentations temps-frŽquence les plus courantes, on peut citer la transformŽe de Gabor (transformŽe de Fourier ˆ fentre), la transformŽe en ondelettes continue (lineaires) et la distribu- tion de Wigner-Ville (quadratique). L'analyse par ondelettes est officiel- lement nŽe des travaux d'Alex Grossman et Jean Morlet (1984) lorsqu'ils dŽ- cident d'exprimer certaines fonctions sous la forme de combinaisons li- nŽaires des dilatŽs et translatŽs d'une unique fonction appelŽe ONDELETTE. Ë partir de lˆ, les dŽveloppements se sont accŽlŽrŽs et des notions issues de domaines aussi ŽloignŽs que l'analyse harmonique et le traitement numŽ- rique de l'image ont convergŽ et ont donnŽ naissance ˆ la thŽorie solide et passionnante de l'analyse par ondelettes. C'est l'introduction du paramŽtre d'Žchelle (dilatation) qui a value aux ondelettes le surnom de "microscope mathŽmatique" au sens o ce dernier permet de paver le plan temps-frŽquence en utilisant une "bonne" rŽsolution temporelle pour Žtudier les hautes frŽquences (au dŽtriment de la rŽsolu- tion frŽquentielle) et inversement pour l'Žtude des basses frŽquences. De plus, il est devenu possible de construire des bases orthonormŽes d'onde- lettes ; l'idŽe est trŽs grossiŽrement analogue ˆ celle d'utiliser trois vecteurs orthogonaux pour exprimer les vecteurs appartenant ˆ l'espace euclidien tridimensionnel, dans le cas des bases d'ondelettes les vecteurs de bases sont remplacŽs par les ondelettes et l'espace euclidien par un espace fonctionel. Le cadre thŽorique des bases orthogonales d'ondelettes aboutit ˆ des algorithmes de calcul en log(N) et permet de faire le lien entre la thŽorie des ondelettes et celle des bancs de filtres utilisŽs en signal et en image. Il est hors de question de fournir, ici, une liste exhaustive des applica- tions de l'analyse par ondelettes, nous n'en citerons que deux. Suite aux travaux d'Yves Meyer et de David Donoho, nous savons que certaines bases orthogonales d'ondelettes sont "optimales" en ce qui concerne l'approxima- tion de signaux rŽguliers par morceaux (qui sont des modles bien plus rŽalistes que les signaux uniformŽment rŽguliers de l'analyse de Fourier) ce qui permet d'obtenir de remarquables performances en dŽbruitage et en compression. Notamment gr‰ce aux travaux de StŽphane Jaffard, on sait que la transformŽe en ondelettes (continue cette fois) permet d'Žtudier les propriŽtŽs locales des fonctions. Ces rŽsultats ouvrent de nouvelles portes pour l'Žtude de fonctions fractales et multifractales. Renaud SIRDEY (renauds@nortelnetworks.com) Voir aussi : "A Gentle Introduction to the Wavelet Theory", disponible au format PDF aux Editions des Nik's News : www.niksnews.com/editions/ LECTURES CONSEILLEES (PAR ORDRE CROISSANT DE DIFFICULTE) : - B. Burke Hubbard. Ondes et ondelettes : la saga d'un outils mathŽmatique. ƒditions Pour la Science (Diffusion Belin), 1996. - Y. Meyer. Les ondelettes : algorithmes et applications. Armand Colin, 1996 - S. Mallat. A Wavelet Tour of Signal Processing. Academic Press, 1998. - B. TorrŽsani. Analyse continue par ondelettes. CNRS ƒditions, EDP Sciences, 1995. - Y. Meyer. Ondelettes et opŽrateurs (volume 1 : ondelettes). Hermann, 1990. ****************************************************************** *** Nicolas ESPOSITO *** nik@niksnews.com *** www.niksnews.com *** ******************************************************************